דמיון משולשים: ז.ז , צ.צ.צ , צ.ז.צגאומטריה 571 · שיעור 21
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות
שיעור 21: דמיון משולשים: ז.ז , צ.צ.צ , צ.ז.צ
פרק 6 · פיתגורס ודמיון
1הגדרה, סדר האותיות ויחס הדמיון
2שלושת משפטי הדמיון
35 תרגילים, כולל דמיון בטרפז
הגדרה
משולשים דומים
△ABC ∼ △DEF – הסדר חשוב: A מתאים ל־D , B ל־E , C ל־F
∢A = ∢D , ∢B = ∢E , ∢C = ∢F
זוויות מתאימות שוות
AB : DE = BC : EF = AC : DF = k
צלעות מתאימות באותו יחס
4 : 6 = 6 : 9 = 5 : 7.5 = 2 : 3 , כלומר k = 2 : 3
מחשבים את יחס הדמיון
📐 משפטי דמיון: ז.ז (שתי זוויות) · צ.צ.צ (שלוש צלעות באותו יחס) · צ.ז.צ (שתי צלעות באותו יחס והזווית שביניהן)
📐 הגדרה
משולשים דומים: כל הזוויות המתאימות שוות וכל הצלעות המתאימות באותו יחס k (יחס הדמיון)
📐 כלל
במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k)
AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
תרגיל 1 · ז.ז עם ישר מקביל · קל
במשולש ABC: DE ∥ BC (D על AB , E על AC)
AD = 4 , DB = 6 , DE = 5. מצאו את BC
AD = 4 , DB = 6 , DE = 5. מצאו את BC
∢ADE = ∢ABC
DE ∥ BC – זוויות מתאימות שוות
∢A = ∢A
זווית משותפת
△ADE ∼ △ABC
ז.ז
AB = 4 + 6 = 10
AB = AD + DB
AD : AB = DE : BC
צלעות מתאימות באותו יחס
4 : 10 = 5 : BC
מציבים
4 · BC = 50 ⟹ BC = 12.5
כפל בהצלבה ומחלקים ב־4
✅ פתרון סופי: BC = 12.5
📐 משפט
בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות
📐 כלל
צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
📐 משפט דמיון
ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
📐 כלל
אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים
AB = AM + MB
📐 כלל
במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k)
AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
פרופורציה: כפל בהצלבה
a/b = c/d ⟹ a·d = b·c
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
תרגיל 2 · צ.צ.צ · קל
AB = 4 , BC = 6 , AC = 8 , DE = 6 , EF = 9 , DF = 12 , ∢A = 47
הוכיחו ש־△ABC ∼ △DEF ומצאו את ∢D
הוכיחו ש־△ABC ∼ △DEF ומצאו את ∢D
AB : DE = 4 : 6 = 2 : 3
מצמצמים
BC : EF = 6 : 9 = 2 : 3
מצמצמים
AC : DF = 8 : 12 = 2 : 3
מצמצמים
△ABC ∼ △DEF
צ.צ.צ: שלוש צלעות באותו יחס
∢D = ∢A = 47
במשולשים דומים זוויות מתאימות שוות
✅ פתרון סופי: המשולשים דומים , ∢D = 47
📐 משפט דמיון
צ.צ.צ: שלוש צלעות באותו יחס ← המשולשים דומים
📐 הגדרה
משולשים דומים: כל הזוויות המתאימות שוות וכל הצלעות המתאימות באותו יחס k (יחס הדמיון)
תרגיל 3 · צ.ז.צ · בינוני
D על AB , E על AC. AD = 3 , DB = 9 , AE = 4 , EC = 5 , DE = 5
הוכיחו ש־△ADE ∼ △ACB ומצאו את BC
הוכיחו ש־△ADE ∼ △ACB ומצאו את BC
AB = 3 + 9 = 12 , AC = 4 + 5 = 9
חיבור קטעים
AD : AC = 3 : 9 = 1 : 3 , AE : AB = 4 : 12 = 1 : 3
שני היחסים שווים
∢A = ∢A
זווית משותפת – הזווית שבין הצלעות
△ADE ∼ △ACB
צ.ז.צ
DE : CB = 1 : 3
צלעות מתאימות באותו יחס
BC = 3 · 5 = 15
מציבים DE = 5
✅ פתרון סופי: △ADE ∼ △ACB , BC = 15
📐 כלל
אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים
AB = AM + MB
📐 כלל
צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
📐 משפט דמיון
צ.ז.צ: שתי צלעות באותו יחס והזווית שביניהן שווה ← המשולשים דומים
📐 כלל
במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k)
AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
תרגיל 4 · משוואה · קל
△ABC ∼ △DEF. AB = 6 , BC = 8 , DE = 9 , EF = x + 5
מצאו את x ואת EF
מצאו את x ואת EF
AB : DE = BC : EF
צלעות מתאימות באותו יחס
6 : 9 = 8 : (x + 5)
מציבים
6(x + 5) = 72
כפל בהצלבה
x + 5 = 12 ⟹ x = 7
מחלקים ב־6 ומעבירים אגפים
EF = 7 + 5 = 12
מציבים x = 7
✅ פתרון סופי: x = 7 , EF = 12
📐 כלל
במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k)
AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
פרופורציה: כפל בהצלבה
a/b = c/d ⟹ a·d = b·c
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
תרגיל 5 · מורכב: דמיון בטרפז
ABCD טרפז (AB ∥ DC), האלכסונים נחתכים ב־E
AB = 12 , DC = 8 , AC = 10. מצאו את AE ואת EC
AB = 12 , DC = 8 , AC = 10. מצאו את AE ואת EC
∢BAE = ∢DCE
AB ∥ DC – זוויות מתחלפות שוות
∢AEB = ∢CED
זוויות קדקודיות
△ABE ∼ △CDE
ז.ז
AE : CE = AB : CD = 12 : 8 = 3 : 2
צלעות מתאימות באותו יחס
AE = 3k , EC = 2k
כותבים יחס בעזרת k
3k + 2k = 10 ⟹ k = 2
AE + EC = AC
AE = 6 , EC = 4
מציבים k = 2
✅ פתרון סופי: AE = 6 , EC = 4
📐 משפט
בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות
📐 משפט
זוויות קדקודיות שוות זו לזו
∢1 = ∢3
📐 משפט דמיון
ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
📐 כלל
במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k)
AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
📐 כלל
יחס: אם a : b = 2 : 3 כותבים a = 2k , b = 3k
📐 כלל
אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים
AB = AM + MB
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📌 מה למדנו היום
📐 משפט דמיון
ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
📐 משפט דמיון
צ.צ.צ: שלוש צלעות באותו יחס ← המשולשים דומים
📐 משפט דמיון
צ.ז.צ: שתי צלעות באותו יחס והזווית שביניהן שווה ← המשולשים דומים
📐 כלל
במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k)
AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
💡 לפני שכותבים יחס: מסדרים את האותיות לפי הזוויות השוות. צלע מול זווית שווה – מתאימה.
בשיעור הבא: יחס היקפים, יחס שטחים ודמיון במשולש ישר זווית
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא